Alors que les théories projectives, et particulièrement la théorie d’Einstein-Mayer, considèrent l’espace comme étant à quatre dimensions, et introduisent une cinquième dimension uniquement dans le but de construire un nouveau type de calcul tensoriel, la théorie présentée dans les deux articles mentionnés ci-après [A. Einstein, P. Bergmann, Ann. Of Math., 39, 683 (1938), A. Einstein, V. Bargmann, et P. G. Bergmann, Theodore von Kármán Anniversary Volume, Pasadena, 1941, p.212] a été conçue pour donner à la cinquième dimension une signification physique plus forte. Des considérations physiques ont motivé le développement de cette théorie. Il apparaissait impossible pour une théorie du champ dans un carcan à quatre dimensions de tenir compte des résultats de la mécanique quantique, en particulier, la relation de l’indétermination de Heisenberg. Comme la description d’un monde à cinq dimensions en termes d’un formalisme à quatre dimensions aurait été incomplète, il était espéré que l’indétermination des lois à quatre dimensions tiendrait compte de la relation indétermination et que les phénomènes quantiques seraient après tout, expliqués par une théorie du champ. Il apparait de nos jours que ces grands espoirs étaient injustifiés. Quelle partie de l’approche à cinq dimensions passera le test du temps, cela reste à voir. Le monde macroscopique, à tous les niveaux, est à quatre dimensions, et le monde à cinq dimensions doit être, au moins approximativement, cylindrique par rapport à la cinquième dimension. Einstein et ses collaborateurs ont supposé, par conséquent, que le monde était fermé par rapport à la cinquième dimension et formait ce qui pourrait être appelé un tube. Si nous coupons au continuum à cinq dimensions une fine tranche d’une taille infime et nous identifions les deux faces ouvertes (à quatre dimensions) de cette tranche, nous devrons avoir un modèle d’un tel espace à cinq dimensions, fermé. Toutes les fonctions du champ, bien sûr, sont supposées être continues à travers la « couture » ; et, par conséquent, si le tube est suffisamment étroit (c’est-à-dire, si la tranche est suffisamment fine) la variation d’une quantité de champ autour du tube sera petite par rapport à la variation le long du tube. L’espace fermé à cinq dimensions est supposé avoir une géométrie de Riemann. De plus, il est sujet à une autre restriction qui réduit le nombre de variables du champ de 15 à 14. Dans le traitement de la théorie de Kaluza, nous nommons la métrique de sa théorie A-cylindrique. En d’autres termes, l’espace de Kaluza n’est pas seulement cylindrique par rapport à un champ de vecteurs mais au champ unitaire des vecteurs A. À cause de cela, les A-courbes de Kaluza deviennent des géodésiques et dans un système de coordonnées spécial, γ55 est égale à l’unité. Dans la géométrie dont nous discutons à présent, la condition de cylindricité de Kaluza est remplacée par la condition de fermeture de l’espace à cinq dimensions.